Медаль сопротивления. Польский периодический сборник «Органон», о котором говорилось выше, просущест-вовал недолго. В сентябре 1939 г. Польша пала под ударами гитлеровских орд. Не оказавшие ей реальной помощи, ее франко-английские союзники, не подготовленные к войне с хорошо организованным, вооруженным до зубов врагом, спешно консолидировали свои силы, возлагая надежды на линию Мажино. Наступил продолжавшийся несколько месяцев период, вошедший в историю под названием «странной войны».
В эти дни, полные тревог за будущее Франции, и не только Франции, те, кто стоял во главе французской науки и просвещения, друзья Бореля, решили отметить приближающееся время его выхода в отставку и приближающееся его семидесятилетие. Был подготовлен к изданию том избранных работ Бореля «Селекта», к которому Фреше, Данжуа, Валирон, П. Леви каждый в своей области написал примечания.
В январе 1940 г. в одной из аудиторий Коллеж де Франс под председательством министра просвещения Ивона Дельбо при максимально возможном для того времени числе присутствовавших состоялась трогательная, как ее назвал де Бройль, процедура чествования Бореля. «Все присутствующие единодушно почтили того, кто на протяжении полувека самоотверженно служил Франции, ее науке и культуре». Но Борель еще был нужен Франции, и он доказал, что готов служить ей до конца.
Когда в сентябре 1939 г. начала функционировать созданная еще до войны Организация исследований для нужд национальной обороны, ее руководитель Анри Лешамбон, в то время директор Центра прикладных научных исследований, предложил, чтобы Институт Пуанкаре, директором которого, как мы знаем, был Борель, явился составной частью этой организации. Со свойственной ему исключительной энергией Борель сразу же включился в эту работу. Под его руководством были начаты интересные и важные исследования, и все усилия, как утверждает де Бройль, несомненно привели бы к существенным достижениям, если бы стремительный ход трагических событий не положил им конец.
Наступил май 1940 г.: бомбардировка Парижа, прорыв франко-бельгийского фронта, Дюнкерк, последние дни отчаянного сопротивления; выступление по радио премьер-министра Рено: «Я верю в чудо, потому что я верю во Францию». Но чуда не произошло... Потянулись тягостные дни оккупации. Борель не перестает работать, но, недвусмысленно дав понять свою неприязнь к коллаборационистскому режиму Виши, подает в отставку со всех своих многочисленных должностей.
Изображение Бореля, которое видит читатель — репродукция гравюры, выполненной с копии фотографии, присланной мне Даниелем Дюге. Борелю здесь 70 лет. Представляется, что выражение лица на этом снимке проникнуто мрачной сосредоточенностью. Какой контраст со спокойным выражением собственного достоинства, которое мы видим на снимке 1921 г.
Зимой 1941 г. Борель вместе с тремя другими членами Французской Академии, не без основания заподозренный во враждебных действиях, был арестован немцами и заключен в тюрьму Френ. Чудовищной мерой, вызвавшей возмущение во всех научных кругах, назвал де Бройль эту нормальную для гитлеровцев акцию. Как бы то ни было, но после более чем месячного пребывания в сырой холодней камере ученые были освобождены. Однако это не прошло бесследно: Борель заболел, перенес операцию, недуг затянулся. Во время своего выздоровления Борель с радостью узнал об открытии второго фронта и последующем освобождении Парижа.

 У Бореля было много друзей за границей, связи его простирались далеко за пределы Франции. Именно это позволило Борелю сделать основанную им серию монографий во многом международным делом. Среди авторов книг этой серии были скандинавы Линделеф, Карлеман, Неванлинна, итальянец Вольтерра, немецкий математик Блюменталь, венгерский математик Ф. Рисе, русский Лузин, поляк Серпинский... Конечно, большое значение имело и то обстоятельство, что в Париже постоянно бывали иностранные ученые, а французский язык — язык Декарта, Лагранжа, Коши — давно приобрел интернациональное значение.
Когда в начале 20-х годов сформировалась замечательная польская школа теории функций и множеств, у Бореля сразу же установились тесные отношения с ее ведущими представителями — Серпинским, Штейнгаузом, Ку-ратовским и другими. Борель сотрудничал в польских математических журналах, был членом редколлегии одного из них. В 1935 г. в Варшаве вышел первый том журнала «Органон», который по замыслу его основателей должен был освещать актуальные вопросы наук, их историю и философию. В редакционном обращении к читателям этого тома говорилось, что редакция намерена опубликовать серию автобиографических документов выдающихся ученых современности, в которых они расскажут об особенностях своего мышления и творческого пути. Первым среди всех, кого в связи с этим редакция попросила высказаться, был Борель. Представляя читателю публикацию Бореля, редакция сопроводила ее такой характеристикой личности автора: «Эта серия начинается отчетом, который нам любезно согласился предоставить Эмиль Борель, знаменитая научная деятельность которого эффективно дополняется его политической и социальной активностью. Автор всемирно известных математических работ, ученый и профессор, президент Парижской Академии наук, доктор honoris causa многих университетов, в том числе и университета Варшавы, Борель несет вместе с этим высокие обязанности государственного деятеля. Эмиль Борель воплощает всем этим идеалы творческих научных сил в жизни общества».
Отношения Бореля с его английскими коллегами представляются сравнительно холодными. Разумеется, мы находим у крупнейших из них: Харди, Литлвуда, Титчмарша много упоминаний о Бореле, но часто они носят довольно сдержанный характер. Так, в известной фундаментальной книге Харди «Расходящиеся ряды» — хронологически второй после одноименной книги Бореля, содержащей массу нового материала и ряд исторических отступлений, ничего не говорится о том, что появление книги Бореля явилось поворотным пунктом в теории расходящихся рядов. Действительно, как заметил Коллингвуд, за всю историю анализа количество работ по расходящимся рядам, опубликованных до выхода мемуара Бореля и его книги, составило примерно 20. Количество публикаций по расходящимся рядам за первые 20 лет после ее выхода подскочило до двухсот.
Через несколько лет после книги Бореля по теории роста функций появилась книга Харди на эту же тему — маленькая книга, очень богатая по содержанию. К сожалению, и здесь Харди не отдал должное своему предшественнику: вклад Бореля в теорию роста теряется среди обширной библиографии, содержащей много незначительных работ.
Зато можно констатировать исключительно благожелательное отношение к Борелю такого математика, как Лузин. Многочисленные ссылки на Бореля, которые мы встречаем в работах Лузина, по своему характеру свидетельствуют не только о научном признании, но и о чисто дружеском расположении. Со своей стороны, Борель ценил Лузина исключительно высоко. Его также очень интересовали результаты рано ушедшего из жизни Суслина. В поздних книгах Бореля неоднократно встречаются имена П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, выдающиеся достижения которых он оценивал по достоинству.
В заключение нашего рассказа о взаимоотношениях Бореля с коллегами приведем такие его примечательные слова: «Математика не безлична, человеческие симпатии и оппозиции играют важную роль в становлении нашей науки...».

Соотечественники. Мы говорили, что идеалами Бореля в науке были Коши и Пуанкаре, которым он, сознательно или нет, старался подражать всем характером своей деятельности — широтой творческого диапазона, новаторством, редкой научной продуктивностью. Вместе с тем Борель не разделял роялистских и клерикальных устремлений Коши и не высказывался в духе философских воззрений Пуанкаре.
Personalia в литературном наследии Бореля занимает скромное место — всего 50 страниц, почти половину из которых составляет его речь памяти Жоржа Юмбера, преемником которого по Академии стал Борель в 1921 г. Борель подчеркивает преданность Юмбера педагогической деятельности, приводя его слова: «Самой почетной смертью для себя я считаю смерть во время моей лекции». Юмбер в свою очередь был преемником Эрмита по Академии и работал в близких ему направлениях.
Еще в молодости Борель удостоился признания ведущих французских математиков старшего поколения — Дарбу, Пуанкаре, Аппеля, Пикара. Мы знаем также о дружбе, которая связывала его с несколько старшими его выдающимися математиками Адамаром и Пенлеве. Среди многочисленных учеников Бореля особо крупными учеными стали Фреше и Данжуа. Если Данжуа был сравнительно близок Борелю как по тенденциям, так и по тематике своей научной деятельности (теория роста функций, интеграл, моногенность и квазианалитические функции), то творческие установки Фреше были прямо противоположны борелевским. Вот как об этом говорит сам Фреше: «В то время как я часто искал общие черты в разных теориях, чтобы вывести из этого общую теорию, охватывающую каждую из них, Борель путем тщательного и скрупулезного анализа частных случаев вводил новые понятия, значение которых выходило за пределы этих частностей. Этим, быть может, объясняется, что Борель всегда отдавал предпочтение конструктивным методам, более используемым в приложениях, в то время как я использовал дескрептивные методы, в теориях более удобные».
Фреше из скромности не назвал здесь таких своих созданий, как теория абстрактных пространств, своих теорем в нелинейном функциональном анализе, что, не говоря уже о его других достижениях, обеспечило ему почетное место в науке. В устах такого математика, как Фреше, исключительно высокое признание заслуг Бореля звучит особенно авторитетно. Предисловие к своей работе о Бореле Фреше начинает словами: «Нижеследующие строки были написаны как дань уважения ушедшему собрату по науке, который был не только великим математиком, интересовавшимся всеми формами человеческого познания, но и большим организатором и человеком действия».
Помимо работы о Бореле, Фреше явился также инициатором и составителем большого сборника научно-популярных и философских статей Бореля. Все это делает честь благородству Фреше, тем более, что у него с Борелем бывали серьезные разногласия: «Я мог бы привести примеры, когда мы становились непрямо противоположные позиции, но это ни в коей мере не отразилось на наших личных отношениях... Я рассматриваю для себя как самую большую честь, — говорит далее Фреше, — быть дважды избранным на место, занимавшееся таким блестящим ученым: сначала по его кафедре на факультете наущ а затем по его креслу в Академии наук».
Учитывая большое влияние Бореля в Академии, избрание Фреше академиком лишь в 1956 г., когда ему было уже 78 лет, можно думать, давало повод для обиды, если учесть, что, например, Жюлья и Монтель — крупные, но, бес-спорно, уступавшие Фреше ученые, не говоря уже о некоторых менее заслуженных математиках, были избраны в Академию значительно раньше. И это еще раз подчеркивает прекрасные нравственные качества Фреше. К счастью, он после избрания прожил еще долго, скончавшись на 96-м году.
Другим верным другом Бореля был его ученик Валирои — крупный специалист по комплексному анализу, автор большого количества работ по теории целых и мероморфных функций. Книги Валирона, в которых изложению результатов Бореля, естественно, уделялось большое место, переводились на иностранные языки, в том числе и на русский.
Не менее тесная дружба связывала Бореля с рядом выдающихся французских физиков. Кроме уже упоминавшихся Ланжевена и Ж. Перрена, он был особенно близок с одним из основателей квантовой механики Луи де Бройлем. Этим именем Франция гордится уже давно. В речи при вручении ему Золотой медали Нового центра научных исследований (НЦНИ) 24 января 1956 г. де Бройль сказал: «...Я очень сожалею, что состояние здоровья не позволило Эмилю Борелю, который был первым удостоен медали НЦНИ, присутствовать здесь в настоящий момент. Его присутствие дало бы мне возможность еще раз выразить ему мою признательность за ту роль, которую он сыграл в моей деятельности. Обладая известной вам широтой взглядов, Борель ясно видел, что Франция не занимает больше в теоретической физике того места, которое она должна занимать, и он с недюжинным упорством добивался создания нового института — института Анри Пуанкаре. Когда ему удалось осуществить свой замысел, он спросил меня, не соглашусь ли я занять одну из должностей в этом институте...».
Большая речь памяти Бореля, произнесенная де Бройлем в Академии, несомненно очень ценный биографический документ. В этой речи имеются и такие слова: «Те, кто близко знал выдающегося математика, могли убедиться в его исключительных качествах мыслителя и ученого, в его не менее исключительной способности воодушевлять. Никто не может отрицать прямоты и цельности его характера...
Может быть, его можно было упрекнуть в том, что иногда в своей деятельности он проявлял честолюбие. Но разве честолюбие не является естественным и даже законным для человека, чувствующего себя интеллектуально, морально и физически сильным, желающего взвалить на свои плечи груз, какой он может выдержать в виде обязанностей, которые бы позволили ему проявить себя? Если взвесить все это, мы можем сказать, что Борель имел полное право на наше восхищение и доверие».

Конструктивный подход Бореля. В теории множеств Борель известен прежде всего как один из основателей теории меры. Отправляясь от исходной концепции Бореля, видоизменяя и дополняя ее, Лебег построил свою теорию меры, ввел понятие измеримой функции, а затем и свой знаменитый интеграл, без которого современный анализ уже немыслим. Все понятия, введенные Лебегом, получили в его же работах далеко идущее развитие. Все это, однако, не затмило заслугу Бореля. Его мероопределение было конструктивно и основано на понятии, которое Н. Н. Лузин охарактеризовал так: «Семейство множеств, выделенное Борелем, оказалось необычайно плодотворным и творческим. Это так называемые множества, измеримые В». Борелю принадлежит также хронологически первая из важных теорем относительно связи понятия непрерывности и измеримости функции. Основываясь на ней, он предложил свой эквивалент лебеговского интеграла от ограниченной функции, не имевший, однако, большого принципиального значения. Вклад Бореля в специальные вопросы теории множеств определяется также его работами по парадоксам теории множеств (анализ парадокса Ришара, парадоксы конгруэнтности, вытекающие из принятия аксиомы Цермело), а главное — его трудными и глубокими изысканиями по структуре множеств меры нуль, возникшими в его исследованиях по моногенным функциям.
Примерно из тридцати публикаций Бореля по теории множеств (заметки, статьи, книги) около половины посвящено вопросам принципиального и наиболее общего характера. Именно здесь Борель впервые заявил о себе как последовательный и активный представитель конструктивного, или, как иначе говорили, реалистического подхода к математике, да и к любой науке вообще.
В свою очередь Борель тогда же обратился к своим соотечественникам Адамару, Лебегу и Бэру с просьбой высказать свои соображения относительно аксиомы выбора. В то время Адамар уже был знаменит, а тридцатилетние Бэр и Лебег уже зарекомендовали себя работами, которым суждено было стать классическими (Бэр явился основоположником теории разрывных функций; трансфинитные построения играли в его исследованиях очень важную роль).
Так возникла дискуссия, которая стала известна в математическом мире под названием: «Пять писем о трансфинитном Адамара, Бэра, Лебега и Бореля». Эти письма, которые Лузин неоднократно называл знаменитыми, опубликованы в собраниях сочинений всех четырех названных корреспондентов. Борель, кроме того, включал их полный текст в свои книги (изд. 2-е и последующие).
Мы расскажем лишь коротко об этой дискуссии, отсылая читателя к книге Ф. А. Медведева, в которой содержится ее анализ, а также высказывания по тем же вопросам Пуанкаре и других ученых.
Ядром обсуждавшегося вопроса было различие между дескриптивным и конструктивным подходами мышления. В первом случае объект задается, определяется своими свойствами, во втором — указывается, как конкретно он может быть реализован (в аксиоме Цермело последнего как раз не было).
Точку зрения Бореля во многом разделял Лузин: «Наша способность создавать идеальные понятия, даже если избегать логических противоречий, должна иметь известные границы, иначе наука станет слишком фантастической».
В полном соответствии с конструктивистскими установками Бореля находилось, например, такое его выска-зывание о функциях. Соглашаясь, что множество функций вещественной переменной логически определено, он добавляет: «Но я спрашиваю, имеем ли мы о нем должное представление? Можем ли мы вообще представить функ-цию (даже предполагая, что она принимает лишь значения 0 и 1)? Чтобы задать ее, нужно указать ее значения для всех действительных переменных. Но так как это множество несчетно, невозможно указать метод, позволяющий иметь их все, т. е. получить любое из них в ограниченное время».
По Борелю, трудности возникают даже при определении частных значений х и y=f (х). Всякое ли число х (соответственно, у) доступно нам, вычислимо? Разумеется нет, если оно иррационально. И Борель вводит понятие вычислимого числа: число х вычислимо, если оно рационально; если х иррационально, то оно вычислимо, если при любом натуральном п можно при помощи «реально осуществимых» операций найти рациональное число, отличающееся от х меньше чем на ~. Затем Борель определяет вычислимую функцию: функция вычислима, если ее значение вычислимо для каждого вычислимого значения аргумента. Из этого определения следует, что функция может быть вычислимой лишь в том случае, если она непрерывна для вычислимых значений аргумента. Как справедливо замечает Медведев: «...было бы слишком смелым сопоставлять эти соображения Бореля с рядом положений современной конструктивной математики, однако родство их несомненно, и последнее предложение небезыинтересно в частности потому, что в современном конструктивном анализе всякая конструктивная функция непрерывна».
Еще Адамар отмечал противоречивость научно-философских установок Бореля, выразившуюся в том, что в конкретно аналитических построениях и доказательствах теорем он использовал понятия (трансфинйтные числа и т. п.), которые сам же критиковал. В настоящее время вопрос о непоследовательности Бореля отчасти проанализирован. Но, следует заметить, Борель не был в этом исключением. И разве Герман Вейль, отрицавший вместе с Л. Броуэром святая святых математики и логики — принцип исключительного третьего (для бесконечных множеств), в своих знаменитых работах не следовал многократно этому принципу?
Фундаментальными вопросами теории множеств Борель интересовался до конца жизни. Возвращался он в своих поздних работах и к аксиоме выбора.
Борель отмечает, что его интеграл для функций нескольких переменных эквивалентен лебеговскому интегралу, поскольку кратный интеграл может сходиться только абсолютно. В то же время он считает действенным свое обобщение для одномерного интеграла. Последнее он подтверждает на ряде тонких примеров.
Интеграл Бореля остался сравнительно мало замеченным, быть может, потому, что в 1912 г. появилась работа Данжуа, в которой было дано новое обобщение интеграла Лебега. Хотя интеграл Данжуа и не привился в прикладном анализе, он имел большое теоретическое значение, так как давал полное решение, не окончательно завершенной Лебегом проблемы восстановления функции по ее производной. Борель в статье этой проблемы вовсе не касался. В 1916 г. интеграл Бореля глубоко и подробно исследовал Лузин, посвятивший ему ряд страниц в своей знаменитой диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд».
Прежде всего, Лузин привел простой пример функции, интегрируемой по Лебегу, для которой интеграл Бореля не существует. Затем Лузин предложил свое обобщение борелевского интеграла, показав, что оно все же поглощается интегралом Данжуа. Наконец, Лузин построил еще одно обобщение интеграла Бореля, основанное на сочетании интегральных сумм Лебега с борелевским методом интервалов исключения. Однако, как почти тогда же показал юный Д. Меньшов, существуют функции, интегрируемые по Данжуа, но не интегрируемые в смысле и этого обобщения. Все это вместе с появившимися в те же годы работами по теории интеграла П. Александрова, Перрона и Хинчина вовсе погасило интерес к интегралу Бореля. Если в литературе о нем и упоминали, то как о мало удачной попытке обобщения. Но дело не только в обобщении.
Идеи, с которыми связан борелевский интеграл, имеющие к тому же свои истоки в анализе, важны и сами по себе. Кстати, и Лузин отмечал, что интеграл Бореля интересен тем, что ставит новые проблемы. Некоторая реабилитация, хотя и косвенная, идеи борелевского интеграла все же наступила. Это было сделано на основе понятия линейного функционала и его продолжения Ганом и Ф. Риссом (римановы суммы рассматривались как задание линейного функционала на множестве ступенчатых функций, последующие предельные переходы — как расширение функционала на множество суммируемых функций).
Об этих результатах Борель узнал много позднее, однако перед этим ему пришлось столкнуться с серьезными огорчениями не столько научного, сколько личного порядка, поводом к чему послужила работа.